Son yıllarda yüksek matematik eğitimi alan birçok öğrenci muhtemelen şunu merak etmiştir: Diferansiyel denklemler (DE) pratikte nerede uygulanır? Kural olarak, bu konu derslerde tartışılmaz ve öğretmenler, öğrencilere diferansiyel denklemlerin gerçek hayatta uygulamalarını açıklamadan hemen DE çözmeye geçer. Bu boşluğu doldurmaya çalışacağız.
Diferansiyel denklemi tanımlayarak başlayalım. Yani diferansiyel denklem, bir fonksiyonun türevinin değerini fonksiyonun kendisi, bağımsız değişkenin değerleri ve bazı sayılar (parametreler) ile birleştiren bir denklemdir.
Diferansiyel denklemlerin uygulandığı en yaygın alan, doğal olayların matematiksel tanımıdır. Ayrıca, bir süreci tanımlayan bazı değerler arasında doğrudan bir ilişki kurmanın imkansız olduğu problemlerin çözümünde de kullanılırlar. Bu tür problemler biyolojide, fizikte, ekonomide ortaya çıkar.
Biyolojide:
Biyolojik toplulukları tanımlayan ilk anlamlı matematiksel model Lotka - Volterra modeliydi. Etkileşen iki türden oluşan bir popülasyonu tanımlar. Bunlardan birincisi, ikincisinin yokluğunda yırtıcı olarak adlandırılır, x ′ = –ax (a> 0) yasasına göre ölür ve ikincisi - av - avcıların yokluğunda yasaya göre süresiz olarak çoğalır Malthus'un. Bu iki türün etkileşimi aşağıdaki gibi modellenmiştir. Kurbanlar, bu modelde her iki popülasyonun büyüklüğü ile orantılı olduğu varsayılan, yani dxy'ye (d> 0) eşit olduğu varsayılan avcı ve avın karşılaşma sayısına eşit bir oranda ölürler. Bu nedenle, y ′ = by - dxy. Yırtıcı hayvanlar, yenen av sayısıyla orantılı bir oranda çoğalırlar: x ′ = –ax + cxy (c> 0). denklem sistemi
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = by - dxy, (2)
böyle bir popülasyonu tanımlayan avcı-av, Lotka-Volterra sistemi (veya modeli) olarak adlandırılır.
Fizikte:
Newton'un ikinci yasası bir diferansiyel denklem şeklinde yazılabilir.
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), burada m cismin kütlesidir, x koordinatıdır, F (x, t) t anında x koordinatıyla cisme etki eden kuvvettir. Çözümü, belirtilen kuvvetin etkisi altındaki vücudun yörüngesidir.
Ekonomide:
Çıktının doğal büyüme modeli
Bazı ürünlerin sabit bir P fiyatından satıldığını varsayacağız. Q(t) t zamanında satılan ürün miktarını göstersin; o zaman bu noktada gelir PQ(t)'ye eşittir. Belirtilen gelirin bir kısmı satılan ürünlerin üretimine yapılan yatırımlara harcansın, yani.
ben (t) = mPQ (t), (1)
m yatırım oranıdır - sabit bir sayı ve 0
